Como fazer regra de três

A regra de três resolve o problema mais comum da matemática do dia a dia: eu sei três valores e quero o quarto. Ela é simples, funciona sempre que a relação é proporcional — e a maior parte dos erros com ela vem de aplicá-la onde a relação não é proporcional.

Regra de três direta

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma aumenta na mesma proporção que a outra. Mais farinha, mais pães. Mais horas, mais salário.

Monte a proporção mantendo cada grandeza na sua coluna e multiplique em cruz:

a / b = c / x → x = (b × c) ÷ a

Exemplo: 3 kg de farinha rendem 12 pães. Quantos pães saem de 5 kg?

3 / 12 = 5 / x → x = (12 × 5) ÷ 3 = 20 pães.

Regra de três inversa

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na mesma proporção. Mais torneiras, menos tempo. Mais velocidade, menos horas de viagem.

Aqui você inverte uma das razões antes de multiplicar em cruz:

Exemplo: 4 torneiras enchem um tanque em 6 horas. Em quanto tempo 6 torneiras enchem?

Como é inversa: 4 × 6 = 6 × x → x = 24 ÷ 6 = 4 horas.

O teste para saber qual das duas usar é sempre o mesmo, e leva três segundos: pergunte se aumentar a primeira grandeza aumenta ou diminui a segunda. Se aumenta, é direta. Se diminui, é inversa. Errar essa pergunta é o erro número um do assunto.

Regra de três composta

Quando há mais de duas grandezas envolvidas, resolva analisando uma de cada vez em relação à incógnita.

Exemplo: 5 pedreiros, trabalhando 8 horas por dia durante 6 dias, levantam 12 muros. Quantos dias 8 pedreiros, trabalhando 6 horas por dia, levam para levantar 18 muros?

O caminho mais seguro é converter tudo em uma única unidade de trabalho — "hora-pedreiro":

1. Trabalho da primeira situação: 5 × 8 × 6 = 240 horas-pedreiro para 12 muros.
2. Custo por muro: 240 ÷ 12 = 20 horas-pedreiro por muro.
3. Trabalho necessário para 18 muros: 18 × 20 = 360 horas-pedreiro.
4. Capacidade diária da nova equipe: 8 × 6 = 48 horas-pedreiro por dia.
5. Dias: 360 ÷ 48 = 7,5 dias.

Essa abordagem por unidade de trabalho evita completamente a confusão de decidir quais razões inverter — e funciona para qualquer número de grandezas.

O erro que a regra de três não avisa

A regra de três não verifica se a relação é realmente proporcional. Ela devolve um número mesmo quando o número não faz sentido, e é aí que ela machuca.

• Trabalho não paralelizável. Se uma gestação leva 9 meses, nove mulheres não fazem um bebê em um mês. O exemplo é caricato de propósito, mas a versão realista aparece todo dia: dobrar a equipe de um projeto raramente corta o prazo pela metade, porque comunicação e coordenação crescem com o time.
• Rendimentos decrescentes. Quatro pintores num quarto pequeno atrapalham uns aos outros. A proporcionalidade vale enquanto há espaço e ferramenta para todos.
• Relações que não são lineares. Uma peça de carne com o dobro do peso não assa no dobro do tempo — o calor entra pela superfície, e a superfície não cresce na mesma proporção do volume. O mesmo vale para resfriamento, resistência de estruturas e consumo de combustível em função da velocidade.
• Faixas de validade. Uma dose de medicamento por quilo funciona dentro de uma faixa; extrapolar para fora dela pode ser perigoso, e é por isso que bula traz limites e não só a proporção.

A pergunta que evita todos esses casos: "se eu dobrar a entrada, a saída dobra mesmo?" Se a resposta for "mais ou menos", a regra de três é uma estimativa, não uma resposta.

Perguntas frequentes

Como saber se é direta ou inversa? Aumente mentalmente a primeira grandeza e veja o que acontece com a segunda. Sobe junto, é direta; desce, é inversa. Em regra de três composta, faça esse teste separadamente para cada grandeza, sempre comparando com a incógnita.

Preciso converter as unidades? Sim, e antes de montar a proporção. Misturar horas com minutos, ou quilos com gramas, produz um resultado com aparência correta e ordem de grandeza errada — o tipo de erro que passa despercebido.

Regra de três serve para porcentagem? Serve, e é a forma mais intuitiva de ensinar. "15 é 20% de quanto?" vira 15 / 20 = x / 100, então x = 75.

E quando a proporção não é exata? Use a regra de três para obter a ordem de grandeza e trate o resultado como estimativa. Em orçamento de obra, por exemplo, calcula-se o material pela proporção e acrescenta-se uma folga para perdas e recortes — que a proporção nunca prevê.