Média aritmética, geométrica e harmônica

Existem três médias clássicas, e a escolha entre elas não é preferência: cada uma responde a um tipo diferente de pergunta. Usar a aritmética onde caberia a geométrica é um dos erros de estatística mais comuns — e um dos que mais distorcem números de investimento.

As três fórmulas

• Aritmética: (a + b) ÷ 2 — some e divida.
• Geométrica: √(a × b) — multiplique e tire a raiz. Para n valores, a raiz n-ésima do produto.
• Harmônica: 2 ÷ (1/a + 1/b) — a média dos inversos, invertida.

Elas nunca dão o mesmo resultado

Para os números 4 e 9:

Média	Conta	Resultado
Aritmética	(4 + 9) ÷ 2	6,5
Geométrica	√(4 × 9) = √36	6,0
Harmônica	2 ÷ (1/4 + 1/9)	5,54

A ordem nunca muda: aritmética ≥ geométrica ≥ harmônica, com igualdade apenas quando todos os valores são iguais. Quanto mais dispersos os números, maior a distância entre as três.

Quando usar cada uma

Aritmética — grandezas que se somam. Notas, alturas, temperaturas, salários. Se faz sentido perguntar "qual seria o total se todos fossem iguais", é ela.

Geométrica — grandezas que se multiplicam. Taxas de crescimento, retornos de investimento, inflação acumulada, variação de população. Sempre que os valores se encadeiam por multiplicação, é ela.

Harmônica — razões com numerador fixo. Velocidades sobre a mesma distância, preço médio por unidade em compras de valor fixo, índices como P/L de uma carteira.

O erro que custa caro: retorno médio

Um investimento sobe 100% num ano e cai 50% no seguinte. A média aritmética dos retornos é +25% ao ano — um número que aparece com frequência em material de divulgação.

O resultado real é zero: R$ 100 viram R$ 200 e voltam a R$ 100. A média geométrica devolve exatamente isso: √(2,00 × 0,50) = 1,00, ou seja, 0% ao ano.

O mesmo com números menos extremos: uma alta de 50% seguida de uma queda de 33,33% dá média aritmética de +8,33% e média geométrica de 0% — que é o retorno de fato. Por isso, o número correto para descrever desempenho ao longo do tempo é a média geométrica, também chamada de retorno anualizado ou CAGR.

O erro do trajeto: velocidade média

Você percorre um trecho a 40 km/h e volta pelo mesmo caminho a 60 km/h. Qual foi a velocidade média?

Não são 50 km/h. São 48 km/h — a média harmônica. A razão é intuitiva quando dita em voz alta: você passou mais tempo andando devagar. Os 40 km/h ocupam mais horas do trajeto do que os 60, então pesam mais na média.

A verificação é direta. Sobre 120 km de ida e 120 de volta: 3 horas na ida, 2 na volta, 240 km em 5 horas = 48 km/h.

A regra geral: quando a grandeza é uma razão e o numerador é que está fixo (a distância, no caso), a média correta é a harmônica.

Um teste de três perguntas

Na dúvida sobre qual usar, responda nesta ordem:

1. Os valores se somam para formar um total que faz sentido? Se sim, aritmética. Somar notas, salários ou alturas produz um total interpretável.
2. Os valores se multiplicam em cadeia? Se sim, geométrica. Um crescimento de 10% seguido de 20% não é 30%, é 1,10 × 1,20 = 32%.
3. Os valores são razões com o mesmo numerador? Se sim, harmônica. Km por hora sobre a mesma distância, reais por unidade sobre o mesmo valor gasto.

Se nenhuma das três descreve o caso, provavelmente a pergunta não pede uma média, e sim a distribuição inteira — mediana, quartis, valor mínimo e máximo.

Perguntas frequentes

A média geométrica funciona com números negativos? Não diretamente — a raiz de um produto negativo não é real. Por isso, com retornos, trabalha-se com os fatores (1 + retorno): uma queda de 20% vira 0,80, não −0,20.

Qual média usar para preço médio de uma ação comprada aos poucos? A ponderada pela quantidade — que é uma média aritmética com pesos. Mas se você investiu o mesmo valor em reais a cada aporte, o preço médio pago é a média harmônica dos preços, e ela é menor que a aritmética. É a razão matemática pela qual aportar valor fixo periodicamente compra mais cotas quando o preço cai.

E a mediana, entra onde? Numa categoria diferente: as três médias resumem grandeza, a mediana resume posição. Quando há valores extremos, a mediana costuma descrever melhor o caso típico do que qualquer uma das três.

Existe média para três ou mais valores? Sim, todas generalizam: a geométrica de n valores é a raiz n-ésima do produto, e a harmônica é n dividido pela soma dos inversos.