O que é fatorial (n!)
Atualizado em 30 de junho de 2026 · por Rafael Rossi
O fatorial de um número, escrito n!, é o produto de todos os inteiros positivos até ele. É a operação que conta de quantas maneiras diferentes um conjunto pode ser ordenado — e é também a função que cresce mais depressa entre as que aparecem na matemática elementar.
A definição
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1
Assim, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Há também uma definição recursiva, mais útil em programação: n! = n × (n − 1)!, com 0! = 1 como caso base.
O que ele conta
5! = 120 é exatamente o número de filas diferentes que cinco pessoas podem formar. A lógica é direta: há 5 escolhas para a primeira posição, 4 para a segunda (uma pessoa já foi usada), 3 para a terceira, e assim por diante. Multiplicando: 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
Essa é a razão de o fatorial aparecer em toda a combinatória — permutações, arranjos, combinações e probabilidade dependem dele.
Por que 0! = 1
Parece arbitrário e não é. Há dois argumentos independentes que levam ao mesmo valor.
Argumento combinatório: n! conta de quantas formas se pode ordenar n elementos. Existe exatamente uma maneira de ordenar o conjunto vazio: não fazer nada. Logo, 0! = 1.
Argumento de consistência: pela recorrência, n! = n × (n − 1)!. Aplicando com n = 1: 1! = 1 × 0!. Como 1! = 1, é obrigatório que 0! = 1 para a fórmula não quebrar. O mesmo vale para a fórmula das combinações, que teria divisão por zero se 0! fosse 0.
A velocidade do crescimento
| n | n! |
|---|---|
| 5 | 120 |
| 10 | 3.628.800 |
| 15 | 1,3 trilhão |
| 20 | 2,4 quintilhões |
| 52 | 8,07 × 1067 |
| 70 | 1,2 × 10100 |
O fatorial cresce mais rápido que qualquer exponencial. Enquanto 2n dobra a cada passo, n! multiplica por n — e n só aumenta. Já em 70! o resultado ultrapassa 10100, mais que o número estimado de átomos no universo observável (da ordem de 1080).
O baralho embaralhado que nunca existiu antes
O exemplo mais concreto dessa escala usa um baralho comum. O número de ordens possíveis de 52 cartas é 52! ≈ 8,07 × 1067.
Para dar dimensão: se cada pessoa que já viveu embaralhasse um baralho por segundo desde o Big Bang, a fração de ordens já produzidas seria indistinguível de zero. A conclusão prática é curiosa e verdadeira: qualquer baralho bem embaralhado está, quase certamente, numa ordem que nunca existiu antes na história e nunca voltará a existir.
Onde o fatorial aparece na prática
- Probabilidade e loteria: a fórmula das combinações,
C(n,k) = n! ÷ [k!(n−k)!], calcula quantos jogos diferentes existem. - Roteirização. O problema do caixeiro viajante tem (n−1)!/2 rotas possíveis. Com 20 cidades já são cerca de 6 × 1016 — razão pela qual esse tipo de problema é resolvido por heurística, e não por força bruta.
- Séries e cálculo. Expansões como a de ex, seno e cosseno têm fatoriais no denominador; é o que faz esses termos encolherem rápido e a série convergir.
Estimar um fatorial gigante: a aproximação de Stirling
Quando o valor exato não cabe em lugar nenhum, existe uma fórmula que dá a ordem de grandeza com precisão surpreendente:
n! ≈ √(2πn) × (n ÷ e)n
Para n = 10, ela devolve 3.598.696 contra o valor real de 3.628.800 — um erro de 0,83%. Para n = 20, o erro cai para 0,42%, e continua diminuindo conforme n cresce.
O aparecimento simultâneo de π e de e numa fórmula que apenas multiplica inteiros consecutivos é uma das coincidências mais citadas da matemática — e não é coincidência: ela vem de aproximar a soma dos logaritmos por uma integral.
Perguntas frequentes
Existe fatorial de número negativo? Não pela definição elementar. A extensão do fatorial para outros números é a função gama, e ela é indefinida justamente nos inteiros negativos.
E fatorial de número fracionário? Também pela função gama. Um resultado famoso é que 0,5! = √π ÷ 2 ≈ 0,8862 — o π aparece onde ninguém espera.
Por que minha calculadora falha em 70!? Porque o resultado passa do maior número representável em ponto flutuante padrão (cerca de 1,8 × 10308 é o limite, mas o excesso de dígitos significativos já quebra a precisão bem antes). Programas que precisam de fatoriais grandes usam aritmética de precisão arbitrária.
Qual a diferença entre arranjo e combinação? No arranjo a ordem importa (pódio de uma corrida); na combinação, não (cartas na mão). Ambos usam fatorial, mas a combinação divide também por k!, justamente para descontar as ordens que não devem ser contadas duas vezes.