O que é fatorial (n!)

O fatorial de um número, escrito n! (lê-se "n fatorial"), é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n. É uma peça central da análise combinatória.

Como calcular

n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1

Exemplo: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. E 4! = 24, então dá para reaproveitar: 5! = 5 × 4!.

Por que 0! = 1

Parece estranho, mas há exatamente uma maneira de ordenar "nada" (a lista vazia), então 0! = 1 por definição. Isso também mantém as fórmulas de combinação e permutação coerentes.

Onde o fatorial aparece

• Permutações: de quantas formas ordenar n itens distintos? Exatamente n!. Ordenar 5 livros numa estante: 5! = 120 formas.
• Combinações: a fórmula C(n,k) usa fatoriais para contar grupos sem importar a ordem.
• Probabilidade e séries matemáticas (como a do número e).

Cresce assustadoramente rápido

O fatorial dispara: 10! já passa de 3,6 milhões e 20! ultrapassa 2 quintilhões. Por isso, em problemas de contagem, os números explodem depressa.

Perguntas frequentes

Existe fatorial de número negativo ou decimal? Não no sentido básico. Para esses casos, a matemática usa a função gama, uma generalização do fatorial.