Calculadora de fatorial (n!)

O fatorial de um número n, escrito n!, é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n:

n! = n × (n−1) × … × 2 × 1

Exemplo passo a passo

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. E como 4! = 24, dá para reaproveitar: 5! = 5 × 4!.

O que ele conta

O fatorial diz de quantas formas se pode ordenar n itens distintos (permutações). Ordenar 5 livros numa estante: 5! = 120 formas. É a base da análise combinatória e da probabilidade.

Cresce muito rápido

10! já passa de 3,6 milhões; 20! ultrapassa 2 quintilhões. Por isso problemas de contagem "explodem" depressa.

A velocidade do crescimento

n	n!	Comparação
5	120	ordens de 5 pessoas numa fila
10	3.628.800	mais que a população de muitas capitais
13	6.227.020.800	ultrapassa a população mundial
20	2,4 × 10¹⁸	além do que um computador conta em anos
52	8 × 10⁶⁷	ordens possíveis de um baralho

O caso do baralho é o mais impressionante: ao embaralhar bem 52 cartas, você quase certamente produziu uma ordem que nunca existiu antes na história e nunca voltará a existir. O número de arranjos é maior que a quantidade estimada de átomos na Via Láctea.

Por que 0! = 1

Parece arbitrário, mas há dois bons motivos. O primeiro é combinatório: existe exatamente uma maneira de não organizar nada — o arranjo vazio. O segundo é de consistência: a relação n! = n × (n−1)! só continua valendo em n = 1 se 0! for 1, já que 1! = 1 × 0!.

Definir 0! = 1 também é o que faz as fórmulas de combinação e permutação funcionarem nos casos-limite, sem exceções.

Permutação, arranjo e combinação

O fatorial é a base dos três, e a diferença está em duas perguntas: usa todos os elementos? e a ordem importa?

• Permutação — usa todos, ordem importa: n!. Quantas filas diferentes 5 pessoas formam? 120.
• Arranjo — usa alguns, ordem importa: n!/(n−p)!. Pódio de 3 lugares entre 8 atletas: 336.
• Combinação — usa alguns, ordem não importa: n!/(p!(n−p)!). Comissão de 3 pessoas entre 8: 56.

Regra prática para decidir: se trocar a ordem gera um resultado diferente (pódio, senha, fila), é arranjo ou permutação. Se não gera (comissão, grupo, mão de cartas), é combinação.

Por que a calculadora trava em números grandes

O fatorial estoura a capacidade dos tipos numéricos comuns muito rápido. Em ponto flutuante de dupla precisão, o padrão da maioria das linguagens, os valores deixam de ser exatos por volta de 18! e transbordam completamente perto de 171!. Para valores grandes usa-se aritmética de precisão arbitrária ou, quando basta a ordem de grandeza, a aproximação de Stirling.