Calculadora de progressão aritmética e geométrica (PA e PG)

Na PA some-se a razão a cada termo: aₙ = a₁ + (n−1)·r e Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2. Na PG multiplica-se pela razão: aₙ = a₁·rn−1 e Sₙ = a₁·(rⁿ−1)/(r−1).

A diferença que muda tudo

Na PA você soma sempre o mesmo valor; na PG você multiplica. Parece uma distinção pequena, mas os resultados divergem de forma dramática:

Termo	PA (a₁=1, r=2)	PG (a₁=1, q=2)
1º	1	1
5º	9	16
10º	19	512
20º	39	524.288
30º	59	536.870.912

A PA cresce em linha reta; a PG explode. É exatamente essa diferença que separa juros simples de juros compostos — e é por isso que a intuição humana, que pensa linearmente, erra tanto ao estimar crescimento exponencial.

A soma de Gauss

Conta a história que Gauss, ainda criança, foi mandado somar os números de 1 a 100 e respondeu em segundos: 5.050. Ele percebeu que emparelhando os extremos (1+100, 2+99, 3+98…) cada par soma 101, e há 50 pares.

É daí que vem a fórmula da soma da PA: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 — o número de termos vezes a média entre o primeiro e o último.

A PG infinita que tem soma finita

Um dos resultados mais bonitos da matemática básica: quando a razão está entre −1 e 1, a soma de infinitos termos converge para um número finito. S = a₁/(1 − q).

Somar 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… infinitas vezes dá exatamente 1. É a resolução do paradoxo de Zenão: infinitos passos, cada um metade do anterior, somam uma distância finita e são percorridos em tempo finito.

Onde aparecem no mundo real

• PA — juros simples, depreciação linear, poltronas por fileira num teatro, empilhamento de camadas, parcelas fixas de amortização no sistema SAC.
• PG — juros compostos, crescimento populacional, meia-vida de medicamentos e de material radioativo, propagação de vírus, dobra de dívida no rotativo do cartão.

Reconhecer qual das duas descreve um fenômeno é, muitas vezes, mais importante que calcular: tratar crescimento exponencial como se fosse linear é a raiz de erros caros, de finanças pessoais a planejamento de capacidade.