PA e PG: o que são e como calcular
Atualizado em 30 de junho de 2026 · por Rafael Rossi
Progressão aritmética e progressão geométrica são as duas formas mais simples de uma sequência crescer — e a diferença entre elas é a mesma que separa poupar dinheiro de investir dinheiro, ou uma epidemia controlada de uma fora de controle.
As duas definições
- Progressão aritmética (PA): cada termo é o anterior somado de uma constante, chamada razão. 2, 5, 8, 11, 14… (razão 3).
- Progressão geométrica (PG): cada termo é o anterior multiplicado por uma constante. 2, 6, 18, 54, 162… (razão 3).
PA cresce em linha reta; PG cresce em curva que acelera. É a mesma distinção entre juros simples e juros compostos, e entre um aumento de R$ 200 no salário e um aumento de 5%.
As fórmulas
| PA | PG | |
|---|---|---|
| Termo geral | an = a₁ + (n − 1)·r | an = a₁ · qn−1 |
| Soma dos n termos | S = n·(a₁ + an) ÷ 2 | S = a₁·(qn − 1) ÷ (q − 1) |
A fórmula da soma da PA tem uma origem elegante: some o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante — todos os pares dão o mesmo valor. Por isso ela é "a média dos extremos vezes a quantidade de termos".
Exemplo passo a passo
PA: primeiro termo 5, razão 4. Qual é o 20º termo?
a₂₀ = 5 + (20 − 1) × 4 = 5 + 76 = 81. E a soma dos 20 termos: 20 × (5 + 81) ÷ 2 = 860.
PG: primeiro termo 5, razão 2. Qual é o 20º termo?
a₂₀ = 5 × 219 = 5 × 524.288 = 2.621.440. A soma dos 20 termos: 5 × (220 − 1) = 5.242.875.
Mesma posição na sequência, mesmo ponto de partida: 81 contra 2,6 milhões. É a diferença entre somar e multiplicar, aplicada dezenove vezes.
A lenda do tabuleiro de xadrez
A história é antiga e a matemática é verificável. O inventor do xadrez pede como recompensa um grão de trigo na primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira, dobrando até a 64ª casa. O rei acha o pedido modesto.
A soma é uma PG de razão 2 com 64 termos: 264 − 1 ≈ 18,4 quintilhões de grãos. A 25 miligramas por grão, isso dá cerca de 460 bilhões de toneladas — aproximadamente 890 anos da produção mundial de arroz atual.
O que a lenda ensina não é sobre trigo: é que a intuição humana avalia crescimento geométrico olhando os primeiros termos, onde ele parece inofensivo. Somando tudo até a 32ª casa — metade do tabuleiro —, o total é de "apenas" 4,3 bilhões de grãos, cerca de 107 toneladas. Um caminhão-tanque. Todo o absurdo acontece na segunda metade.
Onde cada uma aparece na vida real
- PA: depreciação linear de um bem, parcelas do sistema SAC (a amortização é constante), contagem de assentos por fileira num teatro, aumento salarial em valor fixo.
- PG: juros compostos, crescimento populacional, contágio de uma doença, meia-vida de um medicamento (razão menor que 1), inflação acumulada, depreciação percentual de um carro.
Quando a PG tem soma finita
Um resultado que surpreende: se a razão está entre −1 e 1, a PG infinita tem soma finita, dada por S = a₁ ÷ (1 − q).
Somar 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … para sempre dá exatamente 2. É a resolução matemática do paradoxo de Zenão: infinitos passos, cada um metade do anterior, cabem numa distância finita. E é a mesma fórmula que explica por que 0,999… = 1.
Perguntas frequentes
Como descobrir se uma sequência é PA ou PG? Subtraia termos consecutivos: se a diferença for constante, é PA. Divida termos consecutivos: se o quociente for constante, é PG. Se nenhuma das duas, é outra coisa.
A razão pode ser negativa? Pode nas duas. Numa PA de razão negativa a sequência decresce em linha reta; numa PG de razão negativa os termos alternam de sinal (2, −6, 18, −54…).
Existe termo zero ou negativo em PG? Termos negativos, sim. Zero, não: se qualquer termo fosse zero, todos os seguintes seriam zero, e a razão deixaria de existir.
Por que isso importa fora da prova? Porque quase toda decisão financeira é uma escolha entre PA e PG. Guardar R$ 500 por mês debaixo do colchão é uma PA. Os mesmos R$ 500 rendendo juros formam uma PG — e a diferença entre as duas, em trinta anos, é maior que tudo o que foi depositado.