Calculadora de números primos e fatoração

Um número primo é aquele que só tem dois divisores: o 1 e ele mesmo. 2, 3, 5, 7, 11, 13… são primos. Já os compostos (como 4, 6, 8, 9) têm outros divisores.

Como testar se um número é primo

Basta tentar dividi-lo pelos primos até a sua raiz quadrada. Se nenhum divide de forma exata, ele é primo. Para 37, testamos até ~6: não é divisível por 2, 3 nem 5 → é primo.

Fatoração em primos

Todo número composto pode ser escrito como um produto único de primos (Teorema Fundamental da Aritmética). Divide-se pelo menor primo possível, repetidamente:

360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = … = 2³ × 3² × 5

Contando os divisores

Com a fatoração, o número de divisores sai somando 1 a cada expoente e multiplicando:

divisores = (e₁+1) × (e₂+1) × …

Para 360 = 2³ × 3² × 5¹: (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24 divisores.

Para que serve

A fatoração em primos é a base para calcular MMC e MDC, simplificar frações e é o alicerce da criptografia moderna (a dificuldade de fatorar números enormes protege senhas e transações).

Como testar se um número é primo, na mão

Você não precisa dividir por todos os números menores — basta ir até a raiz quadrada dele. Se um número tivesse um divisor maior que a raiz, o par correspondente já seria menor, e você o teria encontrado antes.

Para testar 97: a raiz é ~9,8, então basta checar 2, 3, 5 e 7. Nenhum divide → 97 é primo. Isso reduz enormemente o trabalho: para um número perto de 1.000, são poucos testes em vez de centenas.

Atalhos que eliminam candidatos de imediato: se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, é divisível por 2; se termina em 0 ou 5, por 5; se a soma dos algarismos é múltipla de 3, o número também é.

Curiosidades que ajudam a entender

• 2 é o único primo par — todos os outros pares são divisíveis por 2, por definição.
• 1 não é primo. Não é convenção arbitrária: se fosse, a fatoração deixaria de ser única (12 = 2²·3 = 1·2²·3 = 1²·2²·3…), e o Teorema Fundamental da Aritmética iria por água abaixo.
• Existem infinitos primos. Euclides provou isso há mais de 2.000 anos, com um argumento de uma linha: se houvesse uma lista finita, multiplicar todos e somar 1 produziria um número não divisível por nenhum deles.
• Eles rareiam, mas nunca acabam — ficam cada vez mais espaçados conforme os números crescem.

Por que os primos protegem seus dados

Multiplicar dois primos grandes é trivial para um computador. Desfazer essa multiplicação — descobrir quais eram os dois primos a partir do produto — é computacionalmente inviável quando eles têm centenas de dígitos.

É essa assimetria que sustenta o RSA e boa parte da criptografia que protege bancos, mensagens e o cadeado do seu navegador. A chave pública é o produto; os primos são o segredo. Quebrar isso por força bruta levaria mais tempo que a idade do universo com a tecnologia atual.

Problemas em aberto

Apesar de simples de definir, os primos guardam questões que ninguém resolveu:

• Conjectura dos primos gêmeos — pares como (11, 13) e (17, 19) seriam infinitos? Acredita-se que sim; não há prova.
• Conjectura de Goldbach — todo par maior que 2 é soma de dois primos? Verificada computacionalmente até números gigantescos, ainda sem demonstração.
• Hipótese de Riemann — sobre a distribuição dos primos; é um dos problemas do milênio, com prêmio de um milhão de dólares.