Teorema de Pitágoras: fórmula e exemplos

O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. É provavelmente a fórmula mais útil que a escola ensina — e a que mais gente esquece que pode usar fora da prova.

A fórmula

a² + b² = c²

Onde c é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo de 90°, sempre o maior) e a e b são os catetos. Reorganizando para cada incógnita:

• Achar a hipotenusa: c = √(a² + b²)
• Achar um cateto: a = √(c² − b²)

Exemplo passo a passo

Uma escada de 5 m encostada numa parede alcança 4 m de altura. A que distância da parede está a base?

1. A escada é a hipotenusa: c = 5. A altura é um cateto: b = 4.
2. a² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9
3. a = √9 = 3 metros

O uso mais valioso: esquadrejar uma obra

Este é o motivo pelo qual o teorema aparece em canteiro de obra todos os dias, e quase ninguém o chama pelo nome.

Para garantir que um canto forme exatamente 90° — de uma parede, de uma fundação, de um deck, de uma horta —, use o método 3-4-5:

1. A partir do canto, meça 3 unidades ao longo de um lado e marque.
2. Meça 4 unidades ao longo do outro lado e marque.
3. Meça a distância entre as duas marcas. Se der exatamente 5 unidades, o canto está em esquadro. Se der mais, o ângulo é maior que 90°; se der menos, é menor.

Funciona porque 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². E funciona em qualquer unidade e em qualquer múltiplo: 60-80-100 cm dá o mesmo resultado, com mais precisão, porque quanto maior o triângulo, menor o efeito de um erro de medida de milímetros.

Esse é o teorema usado ao contrário — o que se chama de recíproca: se os três lados satisfazem a² + b² = c², então o ângulo é reto. É a única forma prática de verificar um ângulo de 90° com apenas uma trena.

Os triplos que vale conhecer

Triplos pitagóricos são conjuntos de três inteiros que satisfazem a fórmula. Reconhecê-los evita raiz quadrada:

Triplo	Verificação
3 – 4 – 5	9 + 16 = 25
5 – 12 – 13	25 + 144 = 169
8 – 15 – 17	64 + 225 = 289
7 – 24 – 25	49 + 576 = 625
9 – 40 – 41	81 + 1.600 = 1.681

Qualquer múltiplo de um triplo também é um triplo: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.

Outros usos do dia a dia

• Diagonal de um cômodo. Um quarto de 3,5 × 4,2 m tem diagonal de 5,47 m — número que decide se um sofá passa pela sala ou se um móvel comprido entra em pé pelo corredor.
• Tamanho de televisão. Polegadas de TV medem a diagonal, não a largura. Uma TV de 55" na proporção 16:9 tem 47,9" de largura e 27,0" de altura — a informação que realmente importa para saber se ela cabe no móvel.
• Distância entre dois pontos. A fórmula da distância no plano cartesiano, d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), é literalmente Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas diferenças de coordenadas. É o que um GPS faz em escala.
• Cabo, rampa e telhado. Comprimento de um cabo esticado na diagonal, de uma rampa com altura e comprimento conhecidos, ou da água-furtada de um telhado — todos são hipotenusas.

Quando o teorema não se aplica

Pitágoras vale somente em triângulos retângulos. Aplicá-lo a um triângulo qualquer dá um número errado sem nenhum aviso.

Para triângulos sem ângulo de 90°, a generalização é a lei dos cossenos: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Repare que, quando C = 90°, o cosseno é zero e o último termo desaparece — Pitágoras é apenas o caso particular.

Perguntas frequentes

Como sei qual lado é a hipotenusa? É sempre o lado oposto ao ângulo reto, e sempre o maior dos três. Se você colocar o maior lado no lugar de um cateto, a conta dará raiz de número negativo — o próprio erro se denuncia.

Serve em três dimensões? Serve, aplicando duas vezes: a diagonal de uma caixa de lados a, b e c é √(a² + b² + c²). É como se calcula se uma barra cabe na diagonal de um contêiner.

Por que 3-4-5 e não outra combinação qualquer? Porque é o menor triplo de números inteiros que satisfaz a fórmula — o mais fácil de medir e de lembrar em campo. Qualquer outro triplo funciona igualmente bem.

O teorema é mesmo de Pitágoras? A relação já era conhecida e usada por babilônios e egípcios séculos antes, para exatamente esse fim prático de esquadrejar terrenos. O que a escola pitagórica trouxe foi a demonstração geral — a prova de que vale para todo triângulo retângulo, não só para os casos testados.