Calculadora de sistema de equações (2 incógnitas)

Um sistema linear 2×2 tem duas equações do tipo a·x + b·y = c e busca o par (x, y) que satisfaz as duas ao mesmo tempo — geometricamente, o ponto onde as duas retas se cruzam.

A calculadora usa a regra de Cramer. Primeiro o determinante:

D = a₁·b₂ − a₂·b₁

• Se D ≠ 0: solução única → x = (c₁·b₂ − c₂·b₁)/D e y = (a₁·c₂ − a₂·c₁)/D
• Se D = 0: as retas são paralelas (sem solução) ou coincidentes (infinitas soluções).

Exemplo passo a passo

2x + y = 5 e x − y = 1:

• D = 2·(−1) − 1·1 = −3
• x = (5·(−1) − 1·1)/(−3) = (−6)/(−3) = 2
• y = (2·1 − 1·5)/(−3) = (−3)/(−3) = 1

Confira: 2·2 + 1 = 5 ✔ e 2 − 1 = 1 ✔.

Os três resultados possíveis

Um sistema de duas equações e duas incógnitas descreve duas retas no plano, e só existem três desfechos:

Situação	Geometria	Classificação
Uma solução	retas se cruzam num ponto	possível e determinado
Infinitas soluções	retas coincidentes	possível e indeterminado
Nenhuma solução	retas paralelas	impossível

O determinante avisa qual é o caso antes de você resolver: se ele for diferente de zero, há solução única. Se for zero, o sistema é indeterminado ou impossível — e aí é preciso comparar as equações para saber qual dos dois.

Três métodos, e quando usar cada um

• Substituição — isole uma incógnita numa equação e substitua na outra. Melhor quando alguma variável já está sozinha ou tem coeficiente 1.
• Adição (eliminação) — multiplique as equações para que uma incógnita se cancele ao somar. Melhor quando os coeficientes são "redondos".
• Regra de Cramer — usa determinantes e é o que esta calculadora aplica. Direto e mecânico, mas só funciona quando o determinante principal é diferente de zero.

Sempre confira a resposta

É o passo que quase todo mundo pula e que pega quase todo erro. Substitua os valores encontrados nas duas equações originais — não só naquela que você usou por último. Se uma delas não fechar, o erro está no caminho, e você descobre em dez segundos em vez de entregar errado.

Onde sistemas lineares aparecem

• Misturas — quanto de cada ingrediente para atingir uma concentração ou um custo médio.
• Problemas de idade e de troco, clássicos de prova justamente por caírem em duas equações.
• Ponto de equilíbrio — onde receita e custo se igualam.
• Circuitos elétricos, pelas leis de Kirchhoff.
• Balanceamento de equações químicas.

Em todos eles, a parte difícil raramente é resolver: é traduzir o enunciado em duas equações. Nomeie as incógnitas com clareza antes de escrever qualquer coisa.